Цели урока:

• максимально донести до учащихся изучаемый материал;
• развивать мышление, память, умение свободно пользоваться циркулем;
• попытаться повысить активность и самостоятельность учащихся при выполнении заданий.

Оборудование:

• школьный циркуль
• транспортир,
• линейка,
• карточки для самостоятельной работы.

ХОД УРОКА

Тема урока: «Задачи на построение».

Сегодня мы будем учиться строить треугольники по трем заданным элементам с помощью циркуля и линейки.

Чтобы построить треугольник, нужно сначала уметь строить отрезок, равный заданному, и угол, равный заданному. Конечно, можно это сделать с помощью линейки с делениями и транспортира, но в математике требуется еще и уметь выполнять построения с помощью циркуля и линейки без делений.

Любая задача на построение включает в себя четыре основных этапа:

• анализ;
• построение;
• доказательство;
• исследование.

Анализ и исследование задачи необходимы так же, как и само построение. Необходимо посмотреть, в каких случаях задача имеет решение, а в каких – решения нет.

1. Построение отрезка, равного заданному.

2. Строим угол, равный заданному, с помощью циркуля и линейки.

А вот теперь перейдем к построению треугольников по трем элементам.

3. Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.

Схема №3.

Дано	Требуется построить	Построение
1. Построить угол А, равный заданному углу. 2. На одной стороне угла отметить точку С так, чтобы отрезок АС был равен заданному отрезку b. 3. На другой стороне угла отметить точку В так, чтобы отрезок АВ был равен заданному отрезку с. 4. Соединить с помощью линейки точки В и С. Построен треугольник АСВ по двум сторонам и углу между ними.

Самостоятельная работа к схеме 3.

Вариант 1.

Построить треугольник ВСН, если ВС = 3 см, СН = 4 см, С = 35є.

Вариант 2.

Построить треугольник СДЕ, у которого ДС = 4 см, ДЕ = 5 см, Д = 110є.

Подсказка. Перед построением треугольника необходимо сделать «от руки» чертеж треугольника, где показаны все заданные элементы.

4. Построение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам.

Дано	Требуется построить	Построение
1. Произвольно начертить отрезок АВ, равный заданному отрезку c. 2. Построить угол А, равный заданному. 3. Построить угол В, равный заданному. Точка пересечения двух сторон углов А и В – вершина треугольника С. Построили треугольник АСВ по стороне и двум заданным углам.

Самостоятельная работа к схеме 4.

Вариант 1

Построить треугольник КМО, если КО = 6 см, К = 130є, О = 20є.

Вариант 2

Построить треугольник ВСР, если С = 15є, Д = 50є, СД = 3 см.

5. Построение треугольника по трем сторонам.

Дано После построения любого треугольника, самостоятельно провести доказательство того, что получившийся треугольник – искомый, и по возможности провести исследование.

Треугольник — это геометрическая фигура, которая образуется при соединении отрезками трёх точек, не принадлежащих одной прямой. Он однозначно определяется набором из трёх данных: тремя сторонами, двумя сторонами и углом между ними, или стороной и двумя прилежащими углами.

В качестве примера попробуем построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам?

Быстрая навигация по статье

Строим треугольник

Первым делом на прямой откладывается отрезок, равный длине заданной стороны. Концы отрезка отмечаем точками А и В.

Чтобы построить треугольник, нужно от точек А и В отложить заданные углы. Если заданы величины углов, то для построения воспользуйтесь транспортиром:

• Нижнюю планку транспортира выравниваем по отрезку прямой;
• Начало отсчёта устанавливаем в точке А для первого угла и в точке В — для второго;
• Затем откладываем величины углов. Рядом с соответствующим делением шкалы ставим точки и обозначаем их М и N;
• Соединяем прямыми точки А и М, В и N. Пересечение построенных прямых будет третьей последней вершиной треугольника С.

Таким образом по данной стороне и двум заданным прилежащим углам построен треугольник.

Графический угол

Часто для построения треугольника по данной стороне и двум заданным прилежащим углам, углы задаются графически. Задача усложняется, так как нужно построить угол, равный по величине заданному графическому углу.

Можно измерить величину заданного графически угла с помощью транспортира и получить величины прилежащих углов, а затем воспользоваться методом, описанным в предыдущем пункте и построить треугольник.

Используем циркуль

Для другого способа построения угла, соответствующего по величине заданному, понадобится циркуль:

• Циркулем, с произвольным раствором, проводится окружность с центром в начальной точке угла. Пересечения окружности и сторон угла обозначим М и N;
• Теперь вернёмся к отрезку АВ, равному стороне нужного треугольника. Не меняя раствор, от точки А проведите окружность и отметьте точку пересечения ее с отрезком АВ — получаем точку М1;
• Вернитесь к заданному углу. Поставьте ножку циркуля в точку М и сделайте раствор равным МN;
• Теперь, не меняя раствор циркуля, от точки М1 проведите окружность до пересечения её с первой окружностью — получаем точку N1;
• Соедините прямой точки А и N1. Угол М1АN1 и будет равен заданному;
• Так же строим второй угол в точке В. Пересечение сторон построенных углов и будет недостающей вершиной С.

Таким способом строиться треугольник с помощью циркуля по стороне и двум данным прилежащим углам при помощи циркуля.

В т р е у г о л ь н и к е к а ж д а я с т о р о н а м е н ь ш е с у м м ы д в у х д р у г и х.

Повторительные вопросы

Постройте треугольник, стороны которого 44 мм, 58 мм и 66 мм. – Какие углы равны в равных треугольниках? – Из всяких ли трех отрезков можно построить треугольник? – Какая зависимость существует между сторонами треугольника?

Применения

9. В городе три завода, взаимно удаленные на 4,8 км, 2,4 км и 3,2 км. Начертите их расположение в масштабе 80 м в 1 мм.

Р е ш е н и е. Строят треугольник со сторонами 6 см, 3 см и 4 см.

10. Возможен ли треугольник со сторонами в 10 см, 20 см и 30 см? 3 см, 4 см и 5 см? 6 см, 6 см и 13 см!

Р е ш е н и е. В первом случае невозможен, так как 10 + 20 не больше 30. Во втором случае возможен. В третьем случае невозможен: 6 + 6 не больше 13.

11. Почему кратчайшее и дальнейшее расстояние от точки до окружности надо считать по прямой, проходящей через центр круга?

Р е ш е н и е. Рассмотрим задачу для точки А (черт. 59), расположенной внутри круга. Покажем, что АВ короче АМ.

Соединив О с М, рассуждаем так: ОA + AM больше ОМ (почему?); но ОМ = ОВ, значит ОA + AM больше ОВ. Отняв по ОА от обоих сравниваемых расстояний, мы имеем: АМ больше АВ . Сходным образом можно показать, что дальнейшее расстояние точки А равно АС, т. е. что АС больше, напр., АN. Предлагаем читателю самому это доказать, а также рассмотреть случаи, когда точка лежит вне окружности.

§ 18. Как построить угол, равный данному

Часто нужно бывает начертить («построить») угол, который был бы равен данному углу, причем построение необходимо выполнить без помощи транспортира, а обходясь только циркулем и линейкой. Умея строить треугольник по трем сторонам, мы сможем решить и эту задачу. Пусть на прямой MN (черт. 60 и 61) требуется построить у точки K угол, равный углу B . Это значит, что надо из точки K провести прямую, составляющую с MN угол, равный B .

Для этого отметим на каждой из сторон данного угла по точке, например А и С , и соединим А и С прямой линией. Получим треугольник АВС . Построим теперь на прямой MN этот треугольник так, чтобы вершина его В находилась в точке К : тогда у этой точки и будет построен угол, равный углу В . Строить же треугольник по трем сторонам ВС, ВА и АС мы умеем: откладываем (черт. 62) от точки К отрезок KL, равный ВС ; получим точку L ; вокруг K , как около центра, описываем окружность радиусом ВА , а вокруг L – радиусом СА . Точку Р пересечения окружностей соединяем с К и Z, – получим треугольник КPL, равный треугольнику ABC ; в нем угол К = уг. В .

Это построение выполняется быстрее и удобнее, если от вершины В отложить р а в н ы е отрезки (одним расстворением циркуля) и, не сдвигая его ножек, описать тем же радиусом окружность около точки К, как около центра.

§ 19. Как разделить угол пополам

Пусть требуется разделить угол А (черт. 63) на две равные части помощью циркуля и линейки, не пользуясь транспортиром. Покажем, как это сделать.

От вершины А на сторонах угла отложим равные отрезки АВ и АС (черт. 64; это делается одним расстворени-ем циркуля). Затем ставим острие циркуля в точки В и С и описываем равными радиусами дуги, пересекающиеся в точке D. Прямая, соединяющая А и Д делит угол А пополам.

Объясним, почему это. Если точку D соединим с В и С (черт. 65), то получатся два треугольника ADC и ADB, у которых есть общая сторона AD ; сторона АВ равна стороне АС , а ВD равна CD. По трем сторонам треугольники равны, а значит, равны и углы BAD и DАС, лежащие против равных сторон ВD и СD . Следовательно, прямая AD делит угол ВАС пополам.

Применения

12. Построить без транспортира угол в 45°. В 22°30’. В 67°30’.

Р е ш е н и е. Разделив прямой угол пополам, получим угол в 45°. Разделив угол в 45° пополам, получим угол в 22°30’. Построив сумму углов 45° + 22°30’, получим угол в 67°30’.

§ 20. Как построить треугольник по двум сторонам и углу между ними

Пусть требуется на местности узнать расстояние между двумя вехами А и В (черт 66), разделенными непроходимым болотом.

Как это сделать?

Мы можем поступить так: в стороне от болота выберем такую точку С , откуда видны обе вехи и возможно измерить расстояния АС и ВС. У г о л С измеряем помощью особого угломерного прибора (называемого а с т р о л я б и е й). По этим данным, т. е. по измеренным сторонам AC и ВС и углу С между ними, построим треугольник ABC где-нибудь на удобной местности следующим образом. Отмерив по прямой линии одну известную сторону (черт. 67), например АС , строят при ней у точки С угол С ; на другой стороне этого угла отмеряют известную сторону ВС. Концы известных сторон, т. е. точки А и В соединяют прямой линией. Получается треугольник, в котором две стороны и угол между ними имеют наперед указанные размеры.

Из способа построения ясно, что по двум сторонам и углу между ними можно построить т о л ь к о о д и н треугольник. поэтому, если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого и углы между этими сторонами одинаковы, то такие треугольники можно друг на друга наложить всеми точками, т. е. у них должны быть равны также третьи стороны и прочие углы. Это значит, что равенство двух сторон треугольников и угла между ними может служить признаком полного равенства этих треугольников. Короче говоря:

Т р е у г о л ь н и к и р а в н ы п о д в у м с т о р о н а м и у г л у м е ж д у н и м и.

Применения

13. Чтобы определить расстояние от А до В через озеро (черт. 68), выбирают такую точку С, из которой видны обе точки А и В. На продолжении прямой АС отмеривают от точки С длину АС , а на продолжении линии ВС отмеривают от С длину ВС; получают точки Е и D Расстояние между ними равно искомому расстоянию АВ. Почему?

Р е ш е н и е. Треугольники ACB и DCE равны по двум сторонам (А С = СЕ; ВС = CD) и углу между ними (уг. АСВ = = уг. DCE, как противоположные). Значит стороны и Е и А В равны, как лежащие в равных треугольниках против равных углов.

Представляем вашему вниманию видеоурок по теме «Построение треугольника по трем элементам». Вы сможете решить несколько примеров из класса задач на построение. Учитель подробно разберет задачу на построение треугольника по трем элементам, а также напомнит теорему о равенстве треугольников.

Данная тема имеет широкое практическое применение, поэтому рассмотрим некоторые типы решения задач. Напомним, что любые построения выполняются исключительно с помощью циркуля и линейки.

Пример 1:

Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.

Дано: Предположим, анализируемый треугольник выглядит так

Рис. 1.1. Анализируемый треугольник к примеру 1

Пусть заданные отрезки будут с и а, а заданный угол будет

Рис. 1.2. Заданные элементы к примеру 1

Построение:

Сначала следует отложить угол 1

Рис. 1.3. Отложенный угол 1 к примеру 1

Затем на сторонах данного угла откладываем циркулем две данные стороны: замеряем циркулем длину стороны а и помещаем остриё циркуля в вершину угла 1, а другой частью делаем насечку на стороне угла 1. Аналогичную процедуру проделываем со стороной с

Рис. 1.4. Отложенные стороны а и с к примеру 1

Затем соединяем полученные насечки, и мы получим искомый треугольник АВС

Рис. 1.5. Построенный треугольник АВС к примеру 1

Будет ли данный треугольник равный предполагаемому? Будет, ведь элементы полученного треугольника (две стороны и угол между ними) соответственно равны двум сторонам и углу между ними, данным в условии. Поэтому по первому свойству равенства треугольников - - искомый.

Построение выполнено.

Примечание:

Напомним, как отложить угол, равный данному.

Пример 2

Отложить от данного луча угол, равный данному. Заданы угол А и луч ОМ. Построить .

Построение:

Рис. 2.1. Условие к примеру 2

1. Построить окружность Окр(А, r = AB). Точки В и С - являются точками пересечения со сторонами угла А

Рис. 2.2. Решение к примеру 2

1. Построить окружность Окр(D, r = CB). Точки E и M - являются точками пересечения со сторонами угла А

Рис. 2.3. Решение к примеру 2

1. Угол МОЕ - искомый, так как .

Построение выполнено.

Пример 3

Построить треугольник АВС по известной стороне и двум прилежащим к ней углам.

Пусть анализируемый треугольник выглядит так:

Рис. 3.1. Условие к примеру 3

Тогда заданные отрезки выглядят таким образом

Рис. 3.2. Условие к примеру 3

Построение:

Отложим угол на плоскости

Рис. 3.3. Решение к примеру 3

Отложим на стороне данного угла длину стороны а

Рис. 3.4. Решение к примеру 3

Затем отложим от вершины С угол . Необщие стороны углов γ и α пересекаются в точке А

Рис. 3.5. Решение к примеру 3

Является построенный треугольник искомым? Является, так как сторона и два прилежащих к ней угла построенного треугольника соответственно равны стороне и углу между ними, данных в условии

Искомый по второму признаку равенства треугольников

Построение выполнено

Пример 4

Построить треугольник по 2 катетам

Пусть анализируемый треугольник выглядит так

Рис. 4.1. Условие к примеру 4

Известные элементы - катеты

Рис. 4.2. Условие к примеру 4

Данная задача отличается от предыдущих тем, что угол между сторонами можно определить по умолчанию - 90 0

Построение:

Отложим угол, равный 90 0 . Делать это будем точно так же, как показано в примере 2

Рис. 4.3. Решение к примеру 4

Затем на сторонах данного угла откладываем длины сторон а и b , данных в условии

Рис. 4.4. Решение к примеру 4

В результате полученный треугольник - искомый, ведь его две стороны и угол между ними соответственно равны двум сторонам и углу между ними, данными в условии

Заметим, что отложить угол 90 0 можно, построив две перпендикулярные прямые. Как выполнить эту задачу, рассмотрим в дополнительном примере

Дополнительный пример

Восстановить перпендикуляр к прямой р, проходящий через точку А,

Прямая р, и точка А, лежащая на данной прямой

Рис. 5.1. Условие к дополнительному примеру

Построение:

Сначала выполним построение окружности произвольного радиуса с центром в точке А

Рис. 5.2. Решение к дополнительному примеру

Данная окружность пересекает прямую р в точках К и Е. Затем построим две окружности Окр(К, R = КЕ), Окр(E, R = КЕ). Данные окружности пересекаются в точках С и В. Отрезок СВ - искомый,

Рис. 5.3. Ответ к дополнительному примеру

1. Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов ().
2. Репетитор по математике ().

1. № 285, 288. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. под редакцией Тихонова А. Н. Геометрия 7-9 классы. М.: Просвещение. 2010 г.
2. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и углу, противолежащему основанию.
3. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу
4. Постройте треугольник по углу, высоте и биссектрисе, проведённым из вершины данного угла.