Если в электростатическом поле точечного заряда Q из точки 1 в точку 2 вдоль про­извольной траектории (рис. 132) переме­щается другой точечный заряд Q 0 , то сила, приложенная к заряду, совершает работу. Работа силы F на элементарном переме­щении dl равна

Работа при перемещении заряда Q 0 из точки 1 в точку 2

не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями на­чальной 1 и конечной 2 точек. Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенциаль­ным, а электростатические силы - консер­вативными (см. §12).

Из формулы (83.1) следует, что рабо­та, совершаемая при перемещении элек­трического заряда во внешнем электроста­тическом поле по любому замкнутому пути L, равна нулю, т. е.

Если в качестве заряда, переносимого в электростатическом поле, взять единич­ный точечный положительный заряд, то элементарная работа сил поля на пути dl равна Е dl =E l dl, где E l =E cosa - про­екция вектора Е на направление элемен­тарного перемещения. Тогда формулу (83.2) можно записать в виде

Интеграл

называется циркуляцией вектора напряженности. Следо­вательно, циркуляция вектора напряжен­ности электростатического поля вдоль лю­бого замкнутого контура равна нулю. Силовое поле, обладающее свойством (83.3), называется потенциальным. Из об­ращения в нуль циркуляции вектора Е следует, что линии напряженности элек­тростатического поля не могут быть за­мкнутыми, они начинаются и кончаются на зарядах (соответственно на положи­тельных или отрицательных) или же ухо­дят в бесконечность.

Формула (83.3) справедлива только для электростатического поля. В дальней­шем будет показано, что для поля движу­щихся зарядов условие (83.3) не выпол­няется (для него циркуляция вектора на­пряженности отлична от нуля).

Циркуляцией вектора напряженности называется работа, которую совершают электрические силы при перемещении единичного положительного заряда по замкнутому пути L

Практическое значение

Теорема о циркуляции играет в магнитостатике приблизительно ту же роль, что и теорема Гаусса электростатике. В частности, при наличии определённой симметрии задачи, она позволяет просто находить величину магнитного поля во всём пространстве по заданным токам. Например, для вычисления магнитного поля от бесконечного прямолинейного проводника с током по закону Био - Савара - Лапласа потребуется вычислить неочевидный интеграл, в то время как теорема о циркуляции (с учётом осевой симметрии задачи) позволяет дать мгновенный ответ:

26. Диполь. Поле диполя.

Электрический дипольный момент - векторная физическая величина, характеризующая, наряду с суммарным зарядом (и реже используемыми высшими мультипольными моментами), электрические свойства системы заряженных частиц (распределения зарядов) в смысле создаваемого ею поля и действия на нее внешних полей. Главная после суммарного заряда и положения системы в целом (ее радиус-вектора) характеристика конфигурации зарядов системы при наблюдении ее издали.

Его поле. Для фиксированных угловых координат (то есть на луче, идущем из центра электрического диполя на бесконечность) напряжённость статического электрического поля диполя или в целом нейтральной системы зарядов, имеющей ненулевой дипольный момент, на больших расстояниях r асимптотически приближается к виду r−3, электрический потенциал - к r−2. Таким образом, статическое поле диполя убывает на больших расстояниях быстрее, чем поле простого заряда (но медленнее, чем поле любого более старшего мультиполя).

Напряжённость электрического поля и электрический потенциал неподвижного или медленно движущегося диполя (или в целом нейтральной системы зарядов, имеющей ненулевой дипольный момент) с электрическим дипольным моментом на больших расстояниях в главном приближении выражается как:

где - единичный вектор из центра диполя в направлении точки измерения, а точкой обозначено скалярное произведение.

Достаточно просты выражения (в том же приближении, тождественно совпадающие с формулами, приведенными выше) для продольной (вдоль радус-вектора, проведенного от диполя в данную точку) и поперечной компонент напряженности электрического поля:

где - угол между направлением вектора дипольного момента и радиус-вектором в точку Третья компонента напряженности электрического поля - ортогональная плоскости, в которой лежат вектор дипольного момента и радиус-вектор, - всегда равна нулю.

27. Строение диэлектрика. Диэлектрик во внешнем эл. поле. Механизмы поляризации диэлектриков

Строение диэлектрика.

Вещество, внесенное в электрическое поле, может существенно изменить его. Это связано с тем, что вещество состоит из заряженных частиц. В отсутствие внешнего поля частицы распределяются внутри вещества так, что создаваемое ими электрическое поле в среднем по объемам, включающим большое число атомов или молекул, равно нулю. При наличии внешнего поля происходит перераспределение заряженных частиц, и в веществе возникает собственное электрическое поле. Полное электрическое поле складывается в соответствии с принципом суперпозиции из внешнего поля и внутреннего поля создаваемого заряженными частицами вещества.

В отличие от проводников, в диэлектриках (изоляторах) нет свободных электрических зарядов. Они состоят из нейтральных атомов или молекул. Заряженные частицы в нейтральном атоме связаны друг с другом и не могут перемещаться под действием электрического поля по всему объему диэлектрика.

Диэлектрик во внешнем эл. поле.

При внесении диэлектрика во внешнее электрическое поле в нем возникает некоторое перераспределение зарядов, входящих в состав атомов или молекул. В результате такого перераспределения на поверхности диэлектрического образца появляются избыточные нескомпенсированные связанные заряды. Все заряженные частицы, образующие макроскопические связанные заряды, по-прежнему входят в состав своих атомов.

Связанные заряды создают электрическое поле которое внутри диэлектрика направлено противоположно вектору напряженности внешнего поля. Этот процесс называется поляризацией диэлектрика . В результате полное электрическое поле внутри диэлектрика оказывается по модулю меньше внешнего поля

Физическая величина, равная отношению модуля напряженности внешнего электрического поля в вакууме к модулю напряженностиполного поля в однородном диэлектрике, называется диэлектрической проницаемостью вещества .

Механизмы поляризации диэлектриков

Существует несколько механизмов поляризации диэлектриков. Основными из них являются ориентационная и электронная поляризации. Эти механизмы проявляются главным образом при поляризации газообразных и жидких диэлектриков.

Ориентационная или дипольная поляризация возникает в случае полярных диэлектриков , состоящих из молекул, у которых центры распределения положительных и отрицательных зарядов не совпадают. Такие молекулы представляют собой микроскопические электрические диполи – нейтральную совокупность двух зарядов, равных по модулю и противоположных по знаку, расположенных на некотором расстоянии друг от друга. Дипольным моментом обладает, например, молекула воды, а также молекулы ряда других диэлектриков (H 2 S, NO 2 и т. д.).

При отсутствии внешнего электрического поля оси молекулярных диполей из-за теплового движения ориентированы хаотично, так что на поверхности диэлектрика и в любом элементе объема электрический заряд в среднем равен нулю.

При внесении диэлектрика во внешнее поле возникает частичная ориентация молекулярных диполей. В результате на поверхности диэлектрика появляются нескомпенсированные макроскопические связанные заряды, создающие поленаправленное навстречу внешнему полю(рис. 1.5.3).

Поляризация полярных диэлектриков сильно зависит от температуры, так как тепловое движение молекул играет роль дезориентирующего фактора.

Электронный или упругий механизм проявляется при поляризации неполярных диэлектриков, молекулы которых не обладают в отсутствие внешнего поля дипольным моментом. Под действием электрического поля молекулы неполярных диэлектриков деформируются – положительные заряды смещаются в направлении вектора а отрицательные – в противоположном направлении. В результате каждая молекула превращается в электрический диполь, ось которого направлена вдоль внешнего поля. На поверхности диэлектрика появляются нескомпенсированные связанные заряды, создающие свое поленаправленное навстречу внешнему полюТак происходит поляризация неполярного диэлектрика (рис. 1.5.4).

Деформация неполярных молекул под действием внешнего электрического поля не зависит от их теплового движения, поэтому поляризация неполярного диэлектрика не зависит от температуры. Примером неполярной молекулы может служить молекула метана CH 4 . У этой молекулы четырехкратно ионизированный ион углерода C 4– располагается в центре правильной пирамиды, в вершинах которой находятся ионы водорода H + . При наложении внешнего электрического поля ион углерода смещается из центра пирамиды, и у молекулы возникает дипольный момент, пропорциональный внешнему полю.

Электрическое поле связанных зарядов, возникающее при поляризации полярных и неполярных диэлектриков, изменяется по модулю прямо пропорционально модулю внешнего поляВ очень сильных электрических полях эта закономерность может нарушаться, и тогда проявляются различныенелинейные эффекты . В случае полярных диэлектриков в сильных полях может наблюдаться эффект насыщения , когда все молекулярные диполи выстраиваются вдоль силовых линий. В случае неполярных диэлектриков сильное внешнее поле, сравнимое по модулю с внутриатомным полем, может существенно деформировать атомы или молекулы вещества и изменить их электрические свойства. Однако, эти явления практически никогда не наблюдаются, так как для этого нужны поля с напряженностью порядка 10 10 –10 12 В/м. Между тем, гораздо раньше наступает электрический пробой диэлектрика.

У многих неполярных молекул при поляризации деформируются электронные оболочки, поэтому этот механизм получил название электронной поляризации . Этот механизм является универсальным, поскольку деформация электронных оболочек под действием внешнего поля происходит в атомах, молекулах и ионах любого диэлектрика.

В случае твердых кристаллических диэлектриков наблюдается так называемая ионная поляризация , при которой ионы разных знаков, составляющие кристаллическую решетку, при наложении внешнего поля смещаются в противоположных направлениях, вследствие чего на гранях кристалла появляются связанные (нескомпенсированные) заряды. Примером такого механизма может служить поляризация кристалла NaCl, в котором ионы Na + и Cl – составляют две подрешетки, вложенные друг в друга. В отсутствие внешнего поля каждая элементарная ячейка кристалла NaCl (см. Часть I § 3.6) электронейтральна и не обладает дипольным моментом. Во внешнем электрическом поле обе подрешетки смещаются в противоположных направлениях, т. е. кристалл поляризуется.

При поляризации неоднородного диэлектрика связанные заряды могут возникать не только на поверхностях, но и в объеме диэлектрика. В этом случае электрическое поле связанных зарядов и полное полемогут иметь сложную структуру, зависящую от геометрии диэлектрика. Утверждение о том, что электрическое полев диэлектрике в ε раз меньше по модулю по сравнению с внешним полемстрого справедливо только в случаеоднородного диэлектрика , заполняющего все пространство, в котором создано внешнее поле. В частности:

Если в однородном диэлектрике с диэлектрической проницаемостью ε находится точечный заряд Q , то напряженность поля создаваемого этим зарядом в некоторой точке, и потенциал φ в ε раз меньше, чем в вакууме:

28 . Проводники. Эл. поле в проводниках. Электроемкость.

Конденсатор.

Рассмотрим некоторые следствия из установленного принципа.

Если - произвольное электростатическое поле, - направленный отрезок контура , то работу электростатического поля по бесконечно медленному перемещению положительного единичного точечного заряда можно описать с помощью криволинейного интеграла

. (1)

Циркуляцией вектора по замкнутому контуру называют скалярную величину

Здесь угол - угол между направлением вектора и направленным элементарным отрезком контура , - проекция вектора на направление , величина является модулем элементарного направленного отрезка контура . В определение циркуляции обязательно входит указание направления обхода контура. Очевидно, что изменение направления обхода приводит к смене алгебраического знака циркуляции. Заметим, что формальное определение понятия «циркуляция векторного поля» (2) не связано с физическим перемещением заряда по траектории: в нестационарном случае величина циркуляции рассчитывается для фиксированного момента времени, одного и того же для всех точек контура. При описании реального движения заряда пришлось бы учитывать, что вместе с изменением положения заряда изменялось бы и время наблюдения. В этой связи полезно помнить высказывание нобелевского лауреата по физике Р. Фейнмана о том, что абстрактное математическое представление зачастую оказывается и самым полным и самым правильным и самым содержательным.

Специального общепринятого символьного обозначения для циркуляции векторного поля не существует, а содержание понятия становится ясным из рассмотрения выражения

, (3)

где - длина контура . Теперь можно сформулировать интуитивное определение циркуляции векторного поля по замкнутому контуру конечной длины:

В силу установленного выше принципа потенциальности электростатического поля выражение (2) должно обращаться в нуль для любого замкнутого контура :

Условие (4) играет важную роль в электростатике: в реально существующем электростатическом поле обязательно выполнено интегральное условие потенциальности (4).

Обратим внимание читателя на то, что из условия (4) следует важный физический результат: силовые линии напряжённости электростатического поля не могут быть замкнутыми и не могут пересекаться, в противном случае условие (4) было бы несправедливо. Силовые линии или «замыкаются» на электрический заряд, или уходят «на бесконечность». В связи со сказанным следует отметить, что выбранное положительное направление вдоль силовой линии не может измениться на противоположное ни в одной точке пространства, через которую проходит рассматриваемая силовая линия.

Рассмотрим перемещение единичного положительного сосредоточенного электрического заряда из произвольной точки пространства А в произвольную точку В по двум произвольным траекториям и (рис.1). Справедливо утверждение, что

Теорема о циркуляции

Ранее мы выяснили, что на заряд (q), который находится в электростатическом поле, действуют консервативные силы, работа ($A$) которых на любом замкнутом пути (L) равна нулю:

где $\overrightarrow{s}$- вектор перемещения (не путать с площадью), $\overrightarrow{E}$ -- вектор напряженности поля.

Для единичного положительного заряда можем записать:

Интеграл в левой части уравнения (2) есть циркуляция вектора напряженности по контуру L. Характерным свойством электростатического поля является то, что циркуляция его вектора напряжённости по любому замкнутому контуру равна нулю. Такое утверждение называется теоремой о циркуляции вектора напряженности электростатического поля.

Докажем теорему о циркуляции на том основании, что работа поля по перемещению заряда не зависит от траектории перемещения заряда в электростатическом поле, что выражается равенством:

где $L_1\ и\ L_2$ различные пути между точками А и В. Учтем, что при замене местами пределов интегрирования получим:

Выражение (4) представим как:

где $L=L_1+L_2$. Так теорема доказана.

Следствием теоремы о циркуляции является то, что линии напряженности электростатического поля незамкнуты. Они начинаются на положительных зарядах, а заканчиваются на отрицательных или уходят в бесконечность. Теорема верна именно для статичных зарядов. Другое следствие теоремы: непрерывность тангенциальных составляющих напряженности (в отличие от нормальных составляющих). Это значит, что компоненты напряженности, которые являются касательными к выбранной любой поверхности во всякой ее точке, имеют по обе стороны поверхности равные значения.

Выделим произвольную поверхность S, которая опирается на контур L (рис.1).

В соответствии с формулой Стокса (теоремой Стокса) интеграл от ротора вектора напряженности ($rot\overrightarrow{E}$), взятый по поверхности S равен циркуляции вектора напряженности вдоль контура, на который опирается данная поверхность:

где $d\overrightarrow{S}=dS\cdot \overrightarrow{n}$, $\overrightarrow{n}$ -- единичный вектор перпендикулярный участку dS. Ротор ($rot\overrightarrow{E}$) характеризует интенсивность «завихрения» вектора. Наглядное представление о роторе вектора можно получить, если маленькую легкую крыльчатку (рис.2) поместить в поток жидкости. В тех местах, где ротор не равен нулю, крыльчатка будет вращаться, причем скорость ее вращения будет тем больше, чем больше проекция модуль проекции ротора на ось крыльчатки.

При практическом вычислении ротора чаще других используют формулы:

Так как в соответствии с уравнением (6) циркуляция вектора напряжённости равна нулю, то мы получаем:

Условие (8) должно выполняться для любой поверхности S, которая опирается на контур L. Это возможно только в том случае, если подынтегральное выражение:

причем для каждой точки поля.

По аналогии с крыльчаткой на рис. 2 представим себе электрическую «крыльчатку». На концах такой «крыльчатки» расположены одинаковые по величине заряды q. Система помещена в однородное поле с напряженностью E. В тех местах, где $rot\overrightarrow{E}\ne 0$ такое «устройство» будет вращаться с ускорением, которое зависит от проекции ротора на ось крыльчатки. В случае, электростатического поля такое «устройство» не стало бы вращаться ни при какой ориентации оси. Так как отличительной особенностью электростатического поля является то, что оно безвихревое. Уравнение (9) представляет теорему о циркуляции в дифференциальной форме.

Пример 1

Задание: На рис. 3 изображено электростатическое поле. Что можно сказать о характеристиках данного поля из рисунка?

О данном поле можно сказать, что существование такого электростатического поля невозможно. Если выделить контур (он изображен пунктиром). Для такого контура циркуляция вектора напряженности:

\[\oint\limits_L{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{s}\ne 0}\left(1.1\right),\]

что противоречит теореме о циркуляции для электростатического поля. Напряженность поля определяется густотой силовых линий, она в разных частях поля не одинакова, в результате работа по замкнутому контуру будет отличаться от нуля, следовательно, циркуляция вектора напряженности не равна нулю.

Пример 2

Задание: Исходя из теоремы о циркуляции, покажите, что тангенциальные составляющие вектора напряженности электростатического поля не изменяются при переходе через границу раздела диэлектриков.

Рассмотрим границу между двумя диэлектриками с диэлектрическими проницаемостями ${\varepsilon }_2\ и\ {\varepsilon }_1$ (рис.4). Выберем на этой границе небольшой прямоугольный контур с параметрами a - длина, b - ширина. Ось Х проходит через середины сторон b.

Для электростатического поля выполняется теорема о циркуляции, которая выражается уравнением:

\[\oint\limits_L{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{s}=0\ \left(2.1\right).}\]

При небольших размерах контура циркуляция вектора напряженности и в соответствии с указанным направлением обхода контура интеграл в формуле (2.1) можно представить как:

\[\oint\limits_L{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{s}=E_{1x}a-E_{2x}a+\left\langle E_b\right\rangle 2b=0\ \left(2.2\right),}\]

где $\left\langle E_b\right\rangle $- среднее значение $\overrightarrow{E}$ на участках перпендикулярных к границе раздела.

Из (2.2) следует, что:

\[{(E}_{2x}-E_{1x})a=\left\langle E_b\right\rangle 2b\ (2.3).\]

Если $b\to 0$, то получаем, что:

Выражение (2.4) выполняется при произвольном выборе оси X, которая лежит на границе раздела диэлектриков. Если представить вектор напряженности в виде двух составляющих (тангенциальной $E_{\tau }\ $ и нормальной $E_n$):

\[\overrightarrow{E_1}=\overrightarrow{E_{1n}}+\overrightarrow{E_{1\tau }},\overrightarrow{E_2}=\overrightarrow{E_{2n}}+\overrightarrow{E_{2\tau }}\ \left(2.5\right).\]

В таком случае из (2.4) запишем:

где $E_{\tau i}$- проекция вектора напряженности на орт $\tau $, направленный вдоль границы раздела диэлектриков.

В § 6 мы выяснили, что силы, действующие на заряд q в электростатическом поле, являются консервативными. Следовательно, работа этих сил на любом замкнутом пути Г равна нулю:

Сократив на q, получим соотношение

Интеграл, стоящий в левой части формулы (12.1), представляет собой циркуляцию вектора контуру Г (см. (11.16)). Таким образом, характерным для электростатического поля является то обстоятельство, что циркуляция вектора напряженности этого поля по любому замкнутому контуру равна нулю.

Возьмем произвольную поверхность S, опирающуюся на контур Г, для которого вычисляется циркуляция (рис. 12.1). Согласно теореме Стокса (см. (11.42)) интеграл от ротора Е, взятый по этой поверхности, равен циркуляции вектора Е по контуру Г:

Поскольку циркуляция равна нулю, мы приходим к выводу, что

Полученное условие должно выполняться для любой поверхности S, опирающейся на произвольный контур Г. Это возможно лишь в том случае, если ротор вектора Е в каждой точке поля равен нулю:

По аналогии с крыльчаткой, изображенной на рис. 11.12, представим себе электрическую «крыльчатку» в виде легкой втулки со спицами, на концах которых помещаются одинаковые по величине положительные заряды q (рис. 12.2; все устройство должно быть малых размеров). В тех местах электрического поля, где ротор Е отличен от нуля, такая крыльчатка вращалась бы с тем большим ускорением, чем больше проекция ротора на ось крыльчатки.

В случае электростатического поля такое воображаемое устройство не пришло бы во вращение при любой ориентации его оси.

Итак, отличительной особенностью электростатического поля является то, что оно безвихревое. В предыдущем параграфе мы выяснили, что ротор градиента скалярной функции равен нулю (см. формулу (11.38)). Поэтому равенство нулю ротора Е в каждой точке поля делает возможным представление Е в виде градиента скалярной функции Из необходимости соблюдения условия (12.1) можно сразу заключить, что существование элекростатического поля вида, показанного на рис. 12.3, невозможно. Действительно, для такого поля циркуляция по контуру, изображенному пунктиром, была бы отлична от нуля, что противоречит условию (12.1). Точно так же невозможно, чтобы поле, отличное от нуля в ограниченном объеме, было во всем этом объеме однородным (рис. 12.4). В этом случае циркуляция по контуру, показанному пунктиром, была бы отлична от нуля.